Gerade Magische Quadrate

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Definition		Magische Quadrate, deren Kantenlänge durch 2 teilbar ist, werden als gerade bezeichnet.
Ergänzende Definition:		Magische Quadrate, deren Kantenlänge durch 4 teilbar ist, werden als doppelt gerade oder gerad-gerade bezeichnet. Magische Quadrate, deren Kantenlänge durch 2, aber nicht durch 4 teilbar ist, werden als einfach gerade oder ungerad-gerade bezeichnet.

Die Konstruktion gerader magischer Quadrate gilt als aufwendig. Eine irrige Annahme. Manche frühere Autoren wie z.B. Bischoff meiden die Beschreibung der Verfahren mit dem Hinweis auf die große Schwierigkeit.

Die Methode der Rahmenquadrate, die von Michael Stifel erarbeitet wurde, war die früheste Systematik, gerade magische Quadrate zu erzeugen. Die Konstruktion doppelt gerader magischer Quadrate wird in der Regel separat von der der einfach geraden behandelt, ein Brauch, dem auch hier gefolgt wird.

Adam Riese stellte in seinem Rechenbüchlein ein Verfahren für Quadrate der Kantenlänge 4 vor. Schott und Kinner beschreiben Vertauschungsfverfahren für die Ordnungen 4, 8, 6 und 10.

De LaHire und Devedec gaben kombinatorische bzw. Vertauschungsverfahren für einfach gerade und doppelt gerade magische Quadrate an.

Das Verfahren von Devedec

Das Verfahren von Devedec¹ eignet sich für gerade magische Quadrate ab n = 6. Ausgegangen wird von einem Quadrat der Kantenlänge n, das in fundamentaler Reihenfolge mit den Werten 1..n² befüllt wird. Danach werden die Zahleneinträge nach diesem graphischen Schema systematisch vertauscht. Die Göße des Schemas kann beliebig erweitert werden.

Die Symbole zeigen an, welche Vertauschungsoperation vorgenommen werden soll:

Die Mittenfelder des Quadrates werden abhängig davon, ob n einfach gerade oder doppelt gerade ist, vertauscht:

Das ursprüngliche Raster ist durch die Liniennomenklatur leicht verwirrend. Stellt man die Abbildungsmethode in kräftig gefärbten Feldern dar, wird die Systematik offenbar:

Die Mittenfelder ergeben sich zu

Die Methode von de LaHire

De LaHire gab Konstruktionsverfahren für ungerade und gerade magische Quadrate an, die sich grundlegend unterscheiden und doch Gemeinsamkeiten haben. Während das Verfahren für ungerade Quadrate sich auf zyklisches Befüllen der Zeilen und Spalten stützt, verwendet das Verfahren für gerade Quadrate eine andere Systematik und zusätzliche Ausschlußbedingungen.

De LaHires Verfahren² bedient sich wie im Fall der ungeraden magischen Quadrate zweier leerer Hilfsquadrate der Kantenlänge n. Das eine Quadrat wird mit den Werten von 1 bis n befüllt, während das andere die Werte 0, n, 2n ... erhält.

Das erste Hilfsquadrat erhält zunächst in Haupt- und Gegendiagonalen die Werte 1 bis 6, die von links nach rechts aufsteigend eingetragen werden. Anschließend werden die Lücken spaltenweise geschlossen, wobei folgende Regeln zu beachten sind:

• Die Spalten werden stets paarweise belegt, also Spalte 1 und n, 2 und n - 1 usw.
• In jeder Spalte stehen ausschließlich zueinander komplementäre Werte bzgl n.
• Eine Spalte enthält jeweils genau n/2 Werte und n/2 Komplemente, die abgesehen von den bereits feststehenden Werten beliebig verteilt werden dürfen.
• Ist eine Zelle mit dem Wert k gefüllt, muß in der zugehörigen anderen Spalte in der gleichen Zeile der Wert (n + 1) - k stehen. Das Befüllen einer Spalte bestimmt damit vollständig die zugehörige andere Spalte

1. Schritt Belegen der Hauptdiagonalen		2. Schritt: Auffüllen der Spalten

Im zweiten Hilfsquadrat werden die Diagonalen von oben nach unten mit den Werten 0, 6, 12... belegt. Anschließend werden die Lücken zeilenweise gefüllt. Ähnlich wie beim ersten Hilfsquadrat müssen sich wieder entsprechende Komplemente gegenüberstehen. Die Regeln lauten folglich:

• Die Zeilen werden stets paarweise belegt, also Zeile 1 und n, 2 und n - 1 usw.
• In jeder Zeile stehen ausschließlich zueinander komplementäre Werte bzgl n².
• Eine Zeile enthält jeweils genau n/2 Werte und n/2 Komplemente, die abgesehen von den bereits feststehenden Werten und der abschließenden Zusatzbedingung beliebig verteilt werden dürfen.
• Ist eine Zelle mit dem Wert k gefüllt, muß in der zugehörigen anderen Zeile in der gleichen Spalte der Wert n²  - k stehen. Das Befüllen einer Zeile bestimmt damit vollständig die zugehörige zweite Zeile.
• Um zu einem magischen Quadrat zu kommen, muß noch eine Zusatzbedingung für das zweite Hilfsquadrat erfüllt werden: In derselben Zeile dürfen auf komplementären Spaltenpositionen keine komplementären Werte bzgl. n² stehen, wenn dieses an gleicher Position im ersten Hilfsquadrat der Fall ist.

Wird die Zusatzbedingung nicht beachtet, kämen manche Zahlenwerte im resultierenden Quadrat mehr als einmal vor.

1. Schritt Belegen der Hauptdiagonalen		2. Schritt: Auffüllen der Zeilen

Der abschließende Schritt erzeugt in bereits bekannter Weise aus den beiden Hilfsquadraten durch zellenweise Addition das magische Quadrat:

Durch zellenweise Addition entsteht das magische Quadrat

Die Konstruktion magischer Quadrate der Kantenlänge 4k erfolgt in gleicher Weise.

Zellenweise Addition liefert ein magisches Quadrat der Kantenlänge 4k

Die systematische Konstruktion eines 10 ´ 10-Quadrates zeigt dieses Schema. Auch in diesem Fall müssen die Spalten bzw. Zeilen der Hilfsquadrate mit jeweils n/2 komplementären Werten gefüllt werden.

Durch zellenweise Addition entsteht das magische Quadrat

weiter im Text

1. Die Darstellung folgt hier Kraitchik, Mathematical Recreations, p. 150-152
2. Die Ausführungen folgen Botermans, Denkspiele der Welt, S. xxx