Andere Magische Quadrate

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Rösselsprung-Quadrate

Eine Besonderheit stellt die Forderung dar, einen Springer auf dem Schachbrett regelkonform so zu ziehen, daß die fortlaufend numerierten Felder, die betreten werden, ein magisches Quadrat der Kantenlänge 8 ergeben. Das Ausgangsfeld der Zugfolge erhält die Nummer 1. Dies ist die verschärfte Fassung der bekannten "Rösselsprung"-Aufgabe.

Der Großmeister Jaenisch gab um 1905 folgende Lösung an:

Eine andere Lösung für ein magisches Rösselsprung-Quadrat, ebenfalls um 1905, ist diese. Leider ist mir nicht bekannt, wer es erdachte.

Zu guter Letzt noch ein zyklisch geschlossener Weg des Königs auf dem Schachbrett, dessen Numerierung der Felder ebenfalls magisch ist:

Andere magische Quadrate

Wenn man sich von der strengen Definition der magischen Quadrate entfernt, ergeben sich neue Aufgabenstellungen. Wenn nicht gefordert ist, daß die Einträge in den Zellen des Quadrates aufeinander folgende ganze Zahlen sind, können andere Bedingungen an die Einträge gestellt werden.

Primzahlquadrate

Man soll ein Quadrat mit den bekannten magischen Eigenschaften konstruieren, desen Zellen ausschließlich Primzahlen enthalten. Die 1, das sei hervorgehoben, ist keine Primzahl! Dessenungeachtet sind schon um 1910 magische Quadrate angegeben worden, die neben der 1 nur Primzahlen enthalten:

Dudeney		Bergholt/Shuldham

Im strengen Sinne ist die Aufgabe bereits für ein 3´3-Quadrat nicht einfach zu lösen. Beispiele für ein 3´3-Quadrat und ein 4´4-Quadrat:

nach M. Gardner		von Allen W. Johnson jr.

Dabei kommt mir unwillkürlich eine kleine Frage in den Sinn:

Frage		Kann in einem magischen Primzahlquadrat die Zahl 2 vorkommen? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?

Die Aufgabenstellung, ein Primzahlquadrat zu konstruieren, läßt sich verschärfen:
Konstruiere ein magisches Quadrat, dessen Zellen aufeinanderfolgende Primzahlen enthalten. Martin Gardner setze 1986 für die Lösung eine Prämie von $100 aus. Es dauerte nur bis 1987, bis Nelson mit Computerhilfe folgendes Quadrat fand:

1480028201	1480028129	1480028183
1480028153	1480028171	1480028189
1480028159	1480028213	1480028141

Bis heute ist noch nicht gezeigt, ob (bzw. daß) dieses Primzahlquadrat das kleinste ist, das aus aufeinander folgenden Primzahlen besteht.

Magische Quadrate und Quadratzahlen

Für bestimmte Ordnungen n, n ³ 8, kann man magische Quadrate konstruieren, die nach dem Quadrieren jedes Eintrages wieder ein magisches Quadrat ergeben. Rouse Ball gibt in seinen Mathematical Recreations and Essays das Beispiel eines Quadrates von M. Schots (S. 212).

Darstellung im Oktalsystem, damit das zugrundeliegende Eulersche Quadrat erkennbar wird (vgl. Exkurs). Man beachte, daß die Einträge in diesem Quadrat um 1 vermindert wurden!		...und dasselbe in Dezimalschreibweise.Die magische Summe m = 260; die magische Summe der Quadrate m' = 11180.

Magische Quadrate und Kubikzahlen

Angesichts des vorigen Beispieles stellt sich die Frage, ob es möglich ist, ein magisches Quadrat aufzustellen, bei dem die magische Eigenschaft erhalten bleibt, wenn alle Einträge quadriert werden und wenn sie zur dritten Potenz erhoben werden. Dies ist möglich; zumindest zwei Beispiele sind bekannt, die die Ordnung 64 (Cazalas, 1934) und 32 (W. Benson) haben.

Die logisch folgende Frage, ob dies auch für höhere Potenzen als 3 durchführbar ist, wurde meines Wissens nach noch nicht befriedigend bearbeitet.

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