Exkurs: Eulersche Quadrate

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Zum Verständnis dieser Quadrate werden die Definitionen aus den formalen Überlegungen zu den magischen Quadraten vorausgesetzt. Alle resultierenden Zahlenwerte werden stets modulo n (=Ordnung des jeweiligen Quadrates) betrachtet.

Lateinische Quadrate

Definition		Ein lateinisches Quadrat der Kantenlänge n enthält n unterschiedliche Symbole je n-mal, dergestalt daß in jeder Zeile und in jeder Spalte eine Permutation der n Symbole steht. Äquivalent ist die Definition, daß in jeder Zeile und in jeder Spalte jedes Synbol genau einmal auftritt.
Ergänzende   Definition		Die Notation (a, b)n bezeichnet das Bildungsschema des Quadrates. Die unterste Zeile enthält die Symbole 0, a, 2a usw., die linke Spalte die Symbole 0, b, 2b usw. Die restlichen Zellen werden mit den entsprechenden Summen mod n aufgefüllt.

a und b müssen zu n teilerfremd sein

Falls a+b und a-b teilerfremd zu n sind, wird das Quadrat diagonal, d.h. in jeder Diagonalen kommt jedes Symbol genau 1 mal vor. Beispiel (2,1)₅

Eulersche Quadrate

Eulersche Quadrate werden, wie unschwer zu erraten ist, zu Ehren des großen Mathematikers so genannt. Leonhard Euler (15.4.1707-18.9.1783) war nicht der erste, der sich mit diesen Quadraten befaßte; vor ihm, und gelegentlich auch heute noch, werden sie als griechisch-lateinische Quadrate bezeichnet.

 Definitionen

Definition		Zwei lateinische Quadrate werden als orthogonal bezweichnet, wenn jedes der in korrespondierenden Zellen auftretende geordnete Paar genau 1 mal auftritt. Beispiel für orthogonale Quadrate der Ordnung 3: (1,1)3     (2,1)3
Ergänzende   Definition		Als Superposition zweier Quadrate der Ordnung n wird ein resultierendes Quadrat der Ordnung n bezeichnet, dessen einzelne Zellen jeweils zwei Einträge enthalten, wobei der erste Eintrag aus der entsprechenden Zelle des einen Quadrates stammt, und der zweite Eintrag aus der entsprechenden Zelle des zweiten Quadrates. Als Notation wird verwendet: Aus den Ausgangsquadraten (a, b)n und (a', b')n wird das Quadrat (aa', bb')n erzeugt.
Definition		Ein eulersches Quadrat oder griechisch-lateinisches Quadrat der Ordnung n besteht aus der Superposition zweier orthogonaler lateinischer Quadrate der Ordnung n
Bemerkung		Der Begriff griechisch-lateinisches Quadrat stammt aus früheren Zeiten, als die Elemente der einen Matrix mit griechischen, die der anderen mit lateinischen Buchstaben bezeichnet wurden. Die Ziffernschreibweise ist nicht nur praktischer, sie erleichtert auch den Einblick in die kombinatorischen bzw. algebraischen Zusammenhänge.

Beispiel 1

liefert linke Ziffer		liefert rechte Ziffer
Superposition ist ein eulersches und zugleich magisches Quadrat

Beispiel 2

Superposition ist ein eulersches Quadrat

Man beachte, daß diese Anordnung kein magisches Quadrat darstellt, da die Summen in den Diagonalen nicht die magische Konstante ergeben. Für Zeilen und Spalten ergibt sich jedoch die für ein magisches Quadrat typische Eigenschaft.

 Bemerkung

Zwei lateinische Quadrate (a, b)_n und (a', b')_n sind orthogonal, wenn ab' - a'b relativ prim zu n ist. Da a, a', b und b' relativ prim zu n sein müssen, ist das Verfahren nur für ungerade n anwendbar. Das eulersche Quadrat (aa', bb')_n ist diagonal, wenn a ± b und a' ± b' relativ prim zu n sind. Beispiel:

(12, 21)₅

 Einfach-gerade Eulersche Quadrate

Nun kommt Leonhard Euler  erneut ins Spiel. Er war der erste, der fragte, ob solche griechisch-lateinischen Quadrate von einfach gerader Ordnung möglich seien. Er kleidete diese Frage in folgende Aufgabe ein:

Aufgabe		Aus 6 Regimentern werden 6 Offiziere mit unterschiedlichem Rang gewählt. Ist es möglich, diese Offiziere in einem 6 ´ 6-Karree so aufzustellen, daß: in jeder Reihe bzw. in jeder Spalte jeder Rang genau einmal vorkommt und je ein Offizier aus jedem Regiment?

Euler vermutete richtig, daß diese Aufgabe nicht lösbar sei. Den Beweis dazu lieferte Tarry -170 Jahre später. Euler biß sich auch die Zähne daran aus, die Aufgabe für Quadrate der Kantenlänge 10 und 14 zu lösen - erfolglos. Er stellte die Behauptung auf, daß es allgemein nicht möglich sei, griechisch-lateinische Quadrate der Kantenlänge 4n + 2 zu konstruieren. Doch hier irrte der große Euler.

Es dauerte sehr lange, bis das Gegenteil bewiesen wurde. Heute weiß man, daß der Fall der Kantenlänge 6 der einzige seiner Art ist.

Der Fall für n = 10 machte auch ein hübsches Legespiel möglich. Unter der Bezeichnung Gewonnen, Herr Euler! vertreibt der Spektrum-Verlag ein Puzzle aus 100 zweifarbigen Karten, die so auszulegen sind, daß... Sie wissen schon. In Ziffern sieht eine mögliche Anordnung so aus:

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