Definition |
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Magische Quadrate, deren Kantenlänge durch 2, aber nicht durch 4
teilbar ist, werden als einfach gerade bezeichnet. |
Mit der 1917 von Richard Strachey erdachten Methode ist ein unkompliziertes
Verfahren zur Konstruktion einfach gerader magischer Quadrate verfügbar.
Tatsächlich gab es bereits vor Strachey systematische Verfahren, darunter
auch die Methode der Rahmenquadrate.
Die Methode von Kinner(us)
Gaspar Schott gibt in seinem Werk Technica
Curiosa die Methode wieder, die ihm vom seinem Korrespondenten Hactenus
Kinnerus vorgestellt wurde. Für ungerade magische Quadrate benutzt Kinner
sinngemäß das Verfahren de
LaLoubères, während für
gerade Quadrate eine Vertauschungsmethode verwendet wird. Speziell die Quadrate
der Kantenlängen 6 und 10 sollen hier vorgestellt werden. Kinner geht
dabei von einem Quadrat aus, das anfangs in der natürlichen Reihenfolge
befüllt wird. Anschließend wird ein Teil der Zelleninhalte paarweise
vertauscht1:
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a |
|
g |
g |
m |
d |
|
b |
|
l |
e |
|
k |
|
c |
f |
|
|
k |
h |
f |
c |
h |
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i |
e |
|
l |
b |
i |
d |
|
|
|
m |
a |
|
 |
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Durch paarweises Vertauschen gemäß dem
Buchstabenschema wird das magische Quadrat erzeugt. |
Für das Quadrat der Kantenlänge 10 geben Kinner und Schott dieses
Schema an:
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a |
D |
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I |
m |
m |
I |
O |
P |
f |
n |
b |
F |
|
o |
o |
M |
N |
g |
n |
|
p |
c |
G |
|
K |
L |
h |
p |
|
B |
|
q |
d |
H |
I |
i |
q |
|
|
C |
E |
|
r |
e |
k |
r |
|
|
Q |
C |
E |
t |
s |
k |
e |
s |
t |
|
Q |
B |
w |
u |
i |
H |
I |
d |
u |
w |
|
y |
x |
h |
G |
|
K |
L |
c |
x |
y |
z |
g |
F |
|
|
|
M |
N |
b |
Z |
f |
D |
|
|
A |
A |
|
O |
P |
a |
|
 |
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Auch hier werden Zellinhalte paarweise vertauscht,
um ein magisches Quadrat zu erzeugen |
Während das von Kinner angegebene Verfahren für
doppelt-gerade magische Quadrate allgemein anwendbar
ist, betrachten die beiden hier gezeigten Methoden lediglich Spezialfälle,
die sich nicht systematisieren lassen.
Das Verfahren von Strachey
1917 teilte Richard Strachey seine Konstruktionsmethode für einfach
gerade magische Quadrate W.W. Rouse Ball mit. Dieser stellte sie in seinem
Klassiker Mathematical Recreations der
Öffentlichkeit vor.
Ähnlich wie beim Verfahren für doppelt gerade
Qadrate wird das leere Quadratschema zunächst unterteilt. Sei n
die Kantenlänge des Quadrates. Teile das Quadrat in Viertel, wobei die
Sektoren jeweils Magische Quadrate der Kantenlänge k = n/2
sind.
Als Konstruktionsmethode für die Teilquadrate wird die von
LaLoubère verwendet.
Sektor |
Inhalt |
A |
Werte 1 bis k2 |
B |
Werte k2 + 1 bis 2k2 |
C |
Werte 2k2 + 1 bis 3k2 |
D |
Werte 3k2 + 1 bis 4k2 |
Man beachte die Anordnung der Sektoren A bis D! Sie ist z.B. bei Rouse Ball
unrichtig wiedergegeben!
Beispiel: Konstruiere ein Quadrat der Kantenlänge 6 gemäß
der oben genannten Vorschrift.
Bedingt durch das Konstruktionsverfahren ist dieses
6 ´ 6-Quadrat schon nahezu magisch.
So sind alle Spaltensummen bereits richtig mit m = 111, während die
Zeilen noch korrigiert werden müssen.
-
Die Zeilen der oberen Hälfte des Quadrates haben Summen von 84
-
die Zellen der unteren Zeilen addieren sich zu jeweils 138
-
Die Diagonalen haben die Summen 57 und 165
Durch Vertauschen geeigneter Zellenpaare innerhalb derselben Spalte sollen
die oberen und unteren Zeilensummen auf die magische Konstante gebracht werden.
Die Eckfelder müssen zusätzlich so angeordnet werden, daß
auch die Diagonalen die magische Summe aufweisen.
Naheliegend ist folgende Betrachtung:
-
Die Zeilensumme der ersten Zeile ist 84. m - 87 = 111 - 84 = 27. Für
die Summe in der vierten Zeile gilt 138 - 111 = 27. Werden jetzt innerhalb
der ersten Spalte die Zellen der Zeilen 1 und 4 vertauscht, dann bleibt die
Spaltensumme konstant, während sich die Summe der Zeile 1 zu 35 + 1
+ 6 + 26 + 19 + 24 = 111 = m ergibt. auch die Summe der vierten Zeile wird
zu m = 111 = 8 + 28 + 33 + 17 + 10 + 15. Damit sind zwei Zeilen des Quadrates
magisch geworden.
-
Durch das Ändern der ersten Spalte hat sich die Summe der Hauptdiagonalen
zu 35 + 5 + 2 + 17 + 14 + 11 = 84 erhöht. Da nun auch die Summe der
Zellen in der zweiten Zeile 84 ist, sollte in der zweiten Spalte ein geeignetes
Tauschelement eingestzt werden. Dies findet sich in der Zeile 5. Folglich
werden die Eintäge 5 und 32 vertauscht. Dadurch werden die Hauptdiagonale
und die Zeilen 2 und 5 magisch
-
Analog folgt die Argumentation für den Tausch der Elemte der ersten
Spalte der Zeilen 3 und 6. Dieser Tausch führt dazu, daß die
Gegendiagonale und die Zeilen 3 und 6 auf die Summe m = 111 gebracht werden.
-
Da die Vertauschungsschritte ohne Wirkung auf bereits richtiggestellte Zeilen
und die Hauptdiagonale sind, kann systematisch von oben nach unten vorgegangen
werden.
Im zweiten Schritt nach dem anfänglichen Befüllen der vier Teilquadrate
werden deshalb einzelne Elemente nach folgendem Schema ausgewählt und
zwischen den übereinanderstehenden Teilquadraten paarweise ausgetauscht:
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Schema für
6 ´ 6 |
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Schema für
10 ´ 10 |
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Schema für
14 ´ 14 |
Damit ergibt sich im Beispiel dieses Magische Quadrat:
Beachte die vertauschten Felder (rot hervorgehoben)!
Wie das Schema systematisiert wird, zeigen die beiden nächsten Diagramme.
Zunächst werden erneut die Eigenschaften des Ausgangsquadrates betrachtet:
-
Die Spaltensummen sind jeweils 505 = m.
-
Die oberen Zeilensummen sind 380
-
Die unteren Zeilen haben jeweils die Summe 630.
-
Die Diagonalen haben die Summen 255 und 755.
Um die oberen und unteren Zeilen richtigzustellen müssen jeweils Zellen
gleicher Spalten paarweise so vertauscht werden, daß in Summe die oberen
Zeilen 505 - 380 = 125 Zuwachs haben, während die unteren um 630 - 505
= 125 vermindert werden müssen. Zugleich müssen bei den Diagonalen
505 - 255 = 250 ausgeglichen werden. Diese Summenwerte lassen sich durch
das vorhin angegebene Auswahlschema bilden.
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10 ´ 10 Quadrat vor
der Vertauschung |
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10 ´ 10 Quadrat nach
der Vertauschung |
Die einzige Schwierigkeit, die die Konstruktion dieser Quadrate bereitet,
liegt darin, beim Vertauschen die "Buchführung" in Ordnung zu halten.
So ist im o.g. Klassiker der Unterhaltungsmathematik von W.W. Rouse Ball
nicht nur im Grundschema, sondern auch im
10 ´ 10-Quadrat ein Fehler unterlaufen.
Wieso diese Vertauschmethode funktioniert, und wie das Vertauschungsschema
begründet ist, untersucht der nächste Abschnitt.
Theorie2
Sei n eine einfach gerade Zahl. Ein leeres Quadratschema wird anhand der
von Strachey angegebenen Methode in vier Blöcke der Kantenlänge
k = n/2 zerlegt und gemäß dem Verfahren von de
LaLoubère befüllt.
Summen der Spalten, Zeilen und Diagonalen
Aus der Konstruktionsweise errechnen sich die Gesamtsummen und magischen
Summen der Teilblöcke sich wie folgt :
Sektor |
Inhalt |
Gesamtsumme |
Magische Summe |
A |
Werte 1 bis k2 |
k2 + k4 |
 |
2 |
|
k + k3 |
 |
2 |
|
B |
Werte k2 + 1 bis 2k2 |
k4 + |
k2 + k4 |
 |
2 |
|
k3 + |
k + k3 |
 |
2 |
|
C |
Werte 2k2 + 1 bis 3k2 |
2k4 + |
k2 + k4 |
 |
2 |
|
2k3 + |
k + k3 |
 |
2 |
|
D |
Werte 3k2 + 1 bis 4k2 |
3k4 + |
k2 + k4 |
 |
2 |
|
3k3 + |
k + k3 |
 |
2 |
|
Die Magische Summe des Gesamtquadrates der Kantenlänge n ist bekanntlich
mn = |
n + n3 |
 |
2 |
|
Nach Einsetzen von n = 2k ergibt sich die magische Summe bezüglich k
zu
mn = |
n + n3 |
= |
2k + (2k)3 |
= |
2k + 8k3 |
= k + 4k3 |
 |
 |
 |
2 |
2 |
2 |
|
Im nächsten Schritt werden die möglichen Fälle zur Bildung
der Spalten,- Zeilen- und Diagonalensummen betrachtet.
Die Spaltensummen des Gesamtquadrates sind:
|
1. Fall: Spalten aus A, D: mAD = |
k + k3 |
 |
2 |
|
+ |
3k3 + |
k + k3 |
 |
2 |
|
= |
3k3 + 2 ( |
k + k3 |
) |
 |
2 |
|
= |
4k3 + k |
|
2. Fall: Spalten aus B, C: mBC = |
k3 + |
k + k3 |
 |
2 |
|
+ |
2k3 + |
k + k3 |
 |
2 |
|
= |
3k3 + 2 ( |
k + k3 |
) |
 |
2 |
|
= |
4k3 + k |
Die Zeilensummen ergeben sich zu:
|
1. Fall: Zeilen aus A, C: mAC = |
k + k3 |
 |
2 |
|
+ |
2k3 + |
k + k3 |
 |
2 |
|
= |
2k3 + 2 ( |
k + k3 |
) |
 |
2 |
|
= |
3k3 + k |
|
2. Fall: Zeilen aus B, D: mBD = |
k3 + |
k + k3 |
 |
2 |
|
+ |
3k3 + |
k + k3 |
 |
2 |
|
= |
4k3 + 2 ( |
k + k3 |
) |
 |
2 |
|
= |
5k3 + k |
Die Diagonalen ergeben sich zu:
|
1. Fall; Diagonalen aus A, B: mAB = |
k + k3 |
 |
2 |
|
+ |
k3 + |
k + k3 |
 |
2 |
|
= |
k3 + 2 ( |
k + k3 |
) |
 |
2 |
|
= |
2k3 + k |
|
2. Fall: Diagonalen aus C, D: mCD = |
2k3 + |
k + k3 |
 |
2 |
|
+ |
3k3 + |
k + k3 |
 |
2 |
|
= |
5k3 + 2 ( |
k + k3 |
) |
 |
2 |
|
= |
6k3 + k |
Mithin sind die Spaltensummen mAD und mBC, wie vorhin
behauptet, bereits korrekt in der magischen Summe m bezüglich des
Gesamtquadrates. Die Zeilen und die Diagonalen haben keine korrekten magischen
Summen und müssen deshalb durch Vertauschungen ausgeglichen werden,
die die Spaltensummen invariant lassen.
Vertauschung von Zellen
Wir betrachten eine aus Block A beliebig herausgegriffene Zelle und die
korrespondierende Zelle aus Block D. Die beiden Zellen haben bezogen auf
den jeweiligen Block, in dem sie sich befinden, dieselben Koordinaten. Sei
a der Inhalt einer Zelle in A mit den Koordinaten (x,y). Der Inhalt der Zelle
mit denselben Koordinaten in D ist damit 3k2 + x. Die
Differenz d1 zweier solcher Zellen ist stets:
Analog gilt für die Differenz d2 zweier korrespondierender
Zellen aus B und C:
d2 = 2k2 + x - (k2 +
x) = k2 |
Stracheys Vertauschungsmethode zielt darauf ab, den Mangel bzw.
Überschuß der Zeilensummen bzgl m durch eine Summe von
d1 und d2 auszudrücken, die genau der benötigten
Differenz entspricht.
Da in jedem der Teilfälle (Spalten, Zeilen, Diagonalen) lediglich das
Erzielen der korrekten Gesamtsumme m nötig ist, können auch andere
Spaltenpaare zu Vertauschung verwendet werden, als die im ursprünglichen
Verfahren genannten.
1. Die Angabe, welche Zellen vertauscht werden
sollen, erfolgt durch eine Buchstabennomenklatur, die dem Originaltext
entspricht. vgl. dazu Schott, Technica
Curiosa, S. 874-881
2. Auf besonderen Wunsch meines Kollegen T.S., der den
Mangel an Theorie zu Stracheys Verfahren schon seit längerem beklagt,
und als verspätetes Weihnachtsgeschenk.