Magische Quadrate können basierend auf einem kleineren magischen Quadrat sukzessive konstruiert werden. Die hier beschriebenen Methoden haben sich vor allem bei Amateurmathematikern einer gewissen Beliebtheit erfreut.
Das Konstruktionsverfahren liefert überdies Quadrate mit einer interessanten zusätzlichen Eigenschaft. Das innere, um die mittlere Zelle (bzw. um das Mittel-Karree) gruppierte Quadrat der Kantenlänge, die um 2 kleiner als die des äußersten Quadrates ist, ist zwangsweise magisch. Begann die Konstruktion eines großen Quadraten ungeradzahliger Kantenlänge n z.B. mit dem Lo Shu, so haben alle inneren Quadrate der Kantenlängen n-2, n-4...3 die magische Eigenschaft.
Im dreizehnten Jahrhundert verfaßte ein arabischer Mathematker namens al Bistami (auch al Buni) ein Werk Das Meer der Einsicht über die Wissenschaft der Buchstaben. Darin finden sich auch Rahmenquadrate, wie z.B. diese hier:
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Eine Methode, gerade und ungerade magische Quadrate zu erzeugen, geht auf Bernard Frénicle de Bessy() zurück. Bei dieser Methode wird von der Kantenlänge des Zielquadrates ausgegangen. So entsteht z.B. ein 7´7-Quadrat aus einem 5´5-Quadrat:
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Ausgangsquadrat |
Resultierendes Quadrat |
Begonnen wird von einem magischen Quadrat (gerade oder ungerade) der Kantenlänge n-2. Darauf basierend wird ein Rahmenquadrat der Kantenlänge n konstruiert:
Was an dieser Verfahrensweise stört, ist der un-algorithmische Ansatz, der den Konstruktionserfolg von einer Versuch-und-Irrtum-Methode abhängig macht. Backtracking ist zwar eine nützliche Strategie, wird in der Informatik aber aus gutem Grund wo immer möglich vermieden. Ein Blick auf das Beispielquadrat zeigt, daß die Zahlenwerte in den Randfeldern nicht vollkommen unstrukturiert plaziert wurden.
Versuchen wir einen Ansatz, der strengeren algorithmischen Kriterien genügt - kurz: programmierbar ist.
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Ein vergleichbares Konstruktionsverfahren gibt Vagetius, De quadrato magico imparii (1695) an.
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Stand: 15.12.2006 / |
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