(Un)gelöste Probleme

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Das heimtückische an diesen ungelösten Problemen der Algebra und Zahlentheorie ist, daß sie jedem Kind verständlich zu machen sind. Die Lösung scheint so einfach zu sein, so naheliegend - aber der Schein trügt. Manche dieser scheinbar harmlosen Fragen trotzen erfolgreich der Beantwortung. Die berühmteste von ihnen ist die Goldbachsche Vermutung.

 Die Goldbachsche Vermutung

In einem Brief an Leonhard Euler schrieb der Amateurmathematiker Christian Goldbach, daß sich jede ungerade Zahl n ³ 7 als Summe dreier Primzahlen darstellen läßt.
Heute wird unter der Goldbachschen Vermutung die abgewandelte Fassung verstanden: Jede gerade Zahl n ³ 4 ist als Summe zweier Primzahlen darstellbar.
Man beachte, daß die Darstellung nicht eindeutig sein muß, was auch für viele gerade Zahlen zutrifft.

Diese Vermutung wurde hundert Jahre vor Goldbach bereits von Rene Descartes formuliert. Paul Erdös wußte um die genaugenommen inkorrekte Namensgebung, meinte dazu aber: ""

Das Heimtückische an dieser Vermutung ist, daß sie so harmlos, so einfach beweisbar aussieht. Doch ganze Generationen von Mathematikern haben sich an ihr die Zähne ausgebissen und nur mühsame Fortschritte erzielt. Immerhin konnte die Fragestellung für einige schwächer formulierte Fälle bewiesen werden.

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Was kleine Primzahlen (unter 10¹⁰) betrifft: für sie ist der Nachweis, daß die Goldbachsche Vermutung zutrifft, mittels Computer geführt. Das bedeutet aber auch, daß ihre Aussage im genannten Wertebereich ungeniert für Algorithmen oder Beweise verwendet werden darf.

Eine sehr ähnliche Behauptung ist diese:

Behauptung:		Seien p1, p2 zwei aufeinanderfolgende ungerade Primzahlen (ihr Abstand ist nicht zwangsweise 2). Es gilt: k := p1 + p2 ist durch mindestens 3 natürliche Zahlen ³ 2 teilbar.
Beweis:		Um ehrlich zu sein... die Sache sieht schwierig aus, ist aber trivial! Da k die die Summe zweier ungerader Primzahlen ist, ist k gerade. k ist deswegen durch 2 teilbar. k/2 liegt zwischen p1 und p2, die gemäß Voraussetzung aufeinanderfolgend sind. k/2 als Mittelwert von p1 und p2 ist aus diesem Grund keine Primzahl, sondern zusammengesetzt. Es sei k := 2 · k1 · k2. Es gilt k/2 ³ p1. und p1 ³ 3. Damit gilt k1 · k2 ³ 4. Aus diesem Grund ist jeder der Faktoren k1 und k2 ³ 2.

Wer bis hierher aufmerksam gelesen hat, sollte stutzig werden. Wir wissen, daß die Goldbachsche Vermutung für kleine Zahlen geprüft ist. Nehmen wir an, die gerade Zahl n hätte folgende Faktorisierung: n := 2p, n > 4. n hat damit genau 2 Primfaktoren. Sei n := p₁ + p₂.
Da n > 4 gefordert ist, müssen die beiden Summanden p₁ und p₂ ungerade sein.
Eben haben wir bewiesen, daß die Summe zweier ungerader Primzahlen durch mindestens 3 Faktoren teilbar ist. Haben wir die Goldbachsche Vermutung widerlegt?