Federn

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Für Federelemente gilt im allgemeinen das Hookesche Gesetz, vorausgesetzt, das geeignete Material wird verwendet und der lineare Kraft-Weg-Bereich nicht verlassen. Bereits in der Schulphysik wird experimentell der folgende Zusammenhang erarbeitet:

Feder bei unterschiedlichen Lasten

Die Dehnung l der Feder hängt direkt proportional von der angreifenden Kraft F ab. Das Maß der Dehnung, die sog. Federkonstante D, vom Material und der Bauart der Feder. Der nachstehende Zusammenhang für die Federkonstante wird auch als Hookesches Gesetz bezeichnet:

Eine Feder kann Energie speichern, weswegen sie in der Technik vielfältige Anwendung findet. Federn haben stets eine von 0 verschiedene, positive Federkonstante. Natürlich ist nicht jedes Material ein Hookesches Material; Federkennlinien können je nach Dehnung unterschiedlich sein. Der Abschnitt Hysterese bietet dazu weitere Information.

Um sich dieses Verhalten der Feder zu veranschaulichen, wird gerne ein Kraft-Weg-Diagramm verwendet. Dieses hier zeigt zwei Verläufe für ideale Federn unterschiedlicher Federkonstante D. Die Steigung der Geraden ist ein Maß für die Kraft, die aufgebracht werden muß, um die Feder um einen bestimmten Weg zu spannen.

D₁ = 20 N/cm
D₂ = 50 N/cm

Jüngst ist mir eine Feder mit negativer Kennlinie vorgeschlagen worden. "es muß eben eine Feder sein, die bei Weg an Zugkraft verliert." Was ist davon zu halten? Im Vertrauen gesagt: Die Federn in meiner Bastelkiste verhalten sich so nicht. Das hindert uns aber nicht daran, eine solche Feder theoretisch zu analysieren.

Eine umgekehrt-hookesche Feder

Die Feder ist bei geringer Last lang, bei hoher Last kurz, die Federspannung verhält sich genau umgekehrt wie bei einer hookeschen Feder. Den Fall ohne Last vermag ich nicht einzuschätzen, die Feder würde vermutlich maximale Länge haben (aber kaum unendlich).
Wir sollten bedenken, daß in jedem System im Gleichgewicht der alte Satz actio gleich reactio gilt. Die Gegenkraft, die die Feder aufbringt, ist genauso groß, wie die von der Last erzeugte Kraft. Mit einer solchen Feder könnte man eine hübsche Maschine bauen:

Wassermaschine mit umgekehrt-hookescher Zugfeder 1
und hookescher Druckfeder 2, die das Ventil betätigt

Die Funktionsweise ist schnell erklärt. Wir beginnen mit einem leichten, also leeren Eimer. Die Feder 1 ist gedehnt, der Eimer betätigt durch sein Eigengewicht ein Ventil und wird aus dem Wasserreservoir gefüllt , wodurch er schwerer wird. Weil der Eimer schwer ist, zieht sich die Feder 1 zusammen und befördert den Eimer nach oben. An der oberen Rinne wird der Eimer durch einen Kippmechanismus geleert und damit wieder leicht. Das Spiel kann sich von vorne wiederholen. Das in die obere Rinne beförderte Wasser dient zum Antrieb einer Kraftmaschine.

Fazit: das ist ein PM, das offenkundig den Satz über die Erhaltung der Energie verletzt (siehe oben). Das Potential, das der gefüllte Eimer am oberen Punkt hat, ist höher, als das des gefüllten Eimers unmittelbar nach dem Füllen. Die Feder verrichtet also Hubarbeit. Aus welcher Kraftquelle speist sich die Feder?
Am Besten, wir vergessen das Ganze und bleiben bei den üblichen Federn. Ein paar typische Einwände hört man immer wieder.

Einwand 1:		Es gibt doch Materialien, wie z.B. Blei, die sich bei zunehmender Streckung mit immer weniger Kraft immer weiter dehnen lassen!
Antwort:		Stimmt. Es handelt sich bei Blei oder bei Plastilin um (nahezu) vollständig plastisch deformierbare Materialien, bei denen die gesamte Arbeit, die man zum Strecken aufbringt, durch innere Reibung in Wärme umgesetzt wird. Eine Federwirkung - und damit Energiespeicherung - ist nur bei sehr begrenzten Wegen vorhanden. Man lasse sich aber durch die abnehmende Gesamtkraft nicht täuschen, denn wichtig für die Betrachtung ist die Kraft pro Querschnittsfläche, die aufgebracht werden muß. Und die nimmt bis kurz vor dem Bruch geringfügig zu.
Einwand 2:		Was ist mit Potentialfeldern? Schwerkraft oder elektrische Anziehungskaft nehmen quadratisch mit dem Abstand der beteiligten Objekte ab? Das ist doch ein nichtlinearer Zusammenhang mit abnehmenden Kräften bei zunehmendem Abstand?
Antwort:		Stimmt. Aber Potentialfelder sind keine Federn. Das hindert nicht daran, daß in Potentialfeldern der Energieerhaltungssatz Gültigkeit hat. Das Thema Schwerkraft werde ich gelegentlich näher abhandeln...

 Ein Federmodell

Aufmerksame Leser werden bemerken, daß ich sie mit der Feder ein wenig aufs Glatteis geführt habe. Ich kann mir sehr gut Modelle von Federn vorstellen, die andere Kraft-Weg-Verläufe haben, wie die idealisierten hookeschen Federn aus dem Schulunterricht. Letzten Endes ist es vollkommen nebensächlich, wie eine "Feder" von ihrem inneren Mechanismus her arbeitet. Genaugenommen ist jeder Gegenstand auf irgendeine Art eine "Feder". Läßt man z.B. eine Kugel am Ende eines Stabes rotieren, so kommt die Gegenkraft im Stab, die verhindert, daß die Kugel fortgeschleudert wird, durch die Federwirkung des Stabes zustande. Wenn wir ein wenig weitergrübeln, können wir uns ein dynamisches Federmodell erarbeiten:

Wie funktioniert diese Black-Box-Feder? Wie jede andere Feder wird sie mit den Ösen 1 und 8 an den Versuchsaufbau angehängt. Der Motor 5 kann die Seilrolle 6 in beiden Richtungen bewegen. Wird das Seil herausgezogen, lädt der Motor als Generator den Akku 2. Um das Seil mit einer bestimmten Kraft einzuholen, wird aus dem Akku gespeicherte Arbeit entnommen. Der Regler 4 wertet die Zugkraft, die mit dem Sensor 3 gemessen wird und die abgerollte Seillänge (Längenmessung 7) aus und steuert entsprechend den Betrieb des Motors. Bei konstanter Zugkraft wird die Haltebremse aktiviert, sodaß der Motor die Last nicht "aktiv" halten muß. Der Regler kann über eine geeignet vorgegebene Kennlinie, die einem Kraft-Weg-Diagramm entspricht, die Zugkraft im Seil entsprechend der abgerollten Länge beeinflussen.

Das Federmodell hat gegenüber einer realen Feder einen Nachteil: wird nicht viel Gehirnschmalz in den Regler gesteckt, dann lassen sich Schwingungen nicht verwirklichen.

Mit diesem Federmodell kann offenbar jede Federkennlinie verwirklicht werden, auch die vorhin erwähnte "inverse". Setzen wir voraus, daß Motor/Generator und Haltebremse verlustfrei arbeiten und daß der Akku genausoviel Elektronen hergibt, wie zuvor hineingepumpt wurden. Dennoch kann ein Perpetuum Mobile mit dieser Feder nicht gebaut werden. Der Grund sollte klar sein: die Arbeit, die der Feder entnommen wird, entstammt dem Akkumulator als Energiespeicher. Wird in der Gesamtbilanz mehr entnommen, als zurückgespeist wird, ist der Akkumulator irgendwann leer.
Mechanische Federn können ebenfalls Energie speichern. Doch sie geben nicht mehr her, als sie gespeichert haben...

 Hysterese

In der Praxis ist alles viel unschöner als in der Theorie. Die wenigsten Materialien haben wirklich hookesche Eigenschaften. In der Regel ist der Bereich, in dem die Hookesche Linearitätsbeziehung angewendet werden kann, relativ gering. Dies trifft nicht nur für plastische Materialien wie Blei zu, sondern z.B. auch für Eisen. Sobald es über seine Streckgrenze hinaus belastet wird, kehrt es nicht mehr vollständig in die Ausgangsform zurück. Spröde Materialien wie Glas genügen ziemlich gut der hookeschen Eigenschaft, aber nur in einem eng begrentzten Bereich. Wird dieser Bereich verlassen, tritt ein schlagartiger Bruch des Materials ein. Andere Materialien sind zwar elastisch deformierbar, haben jedoch ausgeprägte nichtlineare Kennlinien. Zwei Diagramme zur Erklärung und Veranschaulichung:

Kraft-Weg-Kennlinie eines idealen hookeschen Materials. Der Zusammenhang ist strikt linear und genügt der oben angeführten Formel.		Kraft-Weg-Kennlinie von Gummi. Das Material ist elastisch, genügt aber einem nichtlinearen Zusammenhang. Die unterschiedlichen Verläufe des Kraft-Weg-Zusammenhanges bein Strecken 1 und Entspannen 2 des Materials werden als Hysterese bezeichnet

Hier stellt sich unwillkürlich die Frage, welche Bedeutung der Fläche im zweiten Diagramm zukommt. Die Fläche kennzeichnet das Maß der Energie, die bei der Defomation des Materials in Wärme umgesetzt wird. Im Sinne der mechanischen Nutzbarkeit ist diese Energie verloren. In der technischen Praxis ist dieser Verlust nicht zu vernachlässigen, denn er bewirkt, daß z.B. Autoreifen sich beim Fahren durch die Walkarbeit erwärmen. Flächen haben die unangenehme Eigenschaft, nie kleiner als Null zu werden, was dem zünftigen Perpetuum-Mobile-Ingenieur gewisse Hindernisse bereitet.