Definition | Ein magisches Quadrat der Kantenlänge n ist eine
quadratische Anordnung der natürlichen Zahlen von
1 bis n2, die folgende Eigenschaften hat:
Magische Quadrate der Kantenlänge n gelten als gleich, wenn sie durch Drehung oder Spiegelung ineinander übergeführt werden können. Die Zahl n wird als Ordnung des magischen Quadrates der Kantenlänge n bezeichnet. Ein magisches Quadrat, dessen Zellen mit den natürlichen Zahlen von 1 bis n2 belegt sind, wird als natürliches magisches Quadrat bezeichnet. |
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Erweiterte Definition |
Ein Quadratschema der Kantenlänge n ist ein magisches Quadrat in beliebigen Zahlenwerten über einer beliebigen Grundmenge, die additiv, assoziativ und kommutativ ist, wenn alle Zellen so gefüllt sind, daß die magische Bedingung erfüllt ist. | |
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Ergänzende Definition |
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Magische Quadrate der Kantenlänge 1 sind ziemlich langweilig, und solche der Kantenlänge 2 nicht konstruierbar. Das kleinste mögliche magische Quadrat hat die Kantenlänge 3.
Für alle natürlichen magischen Quadrate gilt (Beweis trivial, Einsetzen und Nachrechnen!), bedingt durch die Forderung, die Zahlenwerte 1 bis n2 zu verwenden:
Gesamtsumme aller Felder s = |
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Die magische Zahl m = |
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= |
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= |
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Für magische Quadrate, die aus echten magischen Quadraten entstehen, indem man zu jeder Zelle einen konstanten Wert addiert, gelten diese Formeln nicht. In aller Regel werden auf diesen Seiten nur magische Quadrate natürlicher Ordnung betrachtet.
Da sich im magischen Quadrat alle Zeilen und alle Spalten jeweils zur die magische Summe m addieren, und die Addition in natürlichen Zahlen kommutativ ist, können Zeilen bzw. Spalten beliebig untereinander vertauscht werden, ohne daß sich die Summen ändern. Allerdings werden hierbei auch Diagonalenelemente vertauscht, sodaß das Quadrat in aller Regel nur noch semimagisch ist. Werden hingegen Zeilen bzw Spalten symmetrisch bezüglich der jeweiligen Mittenachse vertauscht, bleibt das Quadrat magisch.
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Zeilenvertauschung |
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Spaltenvertauschung |
Eine zweite Vertauschungseigenschaft ist die der Quadratviertel. Abhängig davon, ob das Quadrat gerade oder ungerade ist, kann eines der beiden folgenden Schemata verwendet werden, um aus einem magischen Quadrat ein anderes magisches Quadrat zu erzeugen:
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Blockweise Vertauschung, |
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Blockweise Vertauschung, |
weiter im Text |
Stand: 15.12.2006 / |
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